КРИПТАРИФМЫ НА УМНОЖЕНИЕ
ЗАДАЧА. РЕШИТЬ КРИПТАРИФМ "ЖЕНСКИЕ ИМЕНА".
(Его автор, в отличие от большинства других, не я. Взято из газеты.)
XXX
ЛЕНА
----
ЛИЛЯ
АЛЯ
ГАЛЯ
ВАЛЯ
-------
XXXXXXX
РЕШЕНИЕ
Здесь первое трехзначное число (записанное как XXX) при
умножении на каждую из цифр числа "ЛЕНА" дает одно из чисел
"ЛИЛЯ", "АЛЯ", "ГАЛЯ", "ВАЛЯ". Все эти числа оканчиваются на
"ЛЯ". В слове "ЛЕНА" нет ни одного нуля, иначе вместо одного из
4-х чисел была бы пустая строка (или одна буква, соответствующая
цифре "0").
Последняя цифра чисел "ЛИЛЯ", "АЛЯ", ... зависит только от
последней цифры числа XXX и от соответствующих цифр имени "ЛЕНА".
Таким образом, последняя цифра числа XXX при умножении на 4
разных цифры из слова "ЛЕНА" дает результат с одной и той же
цифрой на конце: Я. Это может быть либо 0, либо 5, что видно из
таблицы умножения цифр на цифры от 1 до 9:
0 000000000
1 123456789
2 246802468
3 369258147
4 482604826
5 505050505
6 628406284
7 741852963
8 864208642
9 987654321
Только у нуля и у пятерки в строках встречается не менее 4-х
одинаковых цифр (9 нулей у нуля, 5 пятерок и 4 нуля у пятерки).
Следовательно, последняя цифра числа XXX - 0 или 5, а буква
"Я" соответствует тоже 0 или 5.
Предположим, последняя цифра числа XXX равна 5. Может ли это
быть?
Тогда 2 последние цифры числа XXX (последняя из них 5) при
умножении на 4 разных буквы слова "ЛЕНА" должны дать 4
одинаковых комбинации на конце, соответствующие буквам "ЛЯ".
Просмотрев таблицу умножения таких чисел, видим, что ни в одной
из строк не встречаются 4 одинаковых пары. Правда, у числа 25
есть 3 пары "25" и 3 "50", а у 75 - 3 пары "75", но это слишком
мало. У числа 25 есть еще 3 пары "00", но обе цифры должны быть
разными.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
05 10 15 20 25 30 35 40 45
15 30 45 60 75 90 05 20 35
25 50 00 25 50 00 25 50 00
35 70 05 40 75 10 45 80 15
45 90 35 80 25 70 15 60 05
55 10 65 20 75 30 85 40 95
65 30 95 60 25 90 55 20 85
75 50 25 00 75 50 25 00 75
85 70 55 40 25 10 95 80 65
95 90 85 80 75 70 65 60 55
Таким образом, последняя цифра XXX равна 0 и Я=0.
Теперь рассмотрим, чему может быть равна предпоследняя цифра
числа XXX. Поскольку Я=0, то ее можно мысленно отбросить (как и
последнюю цифру числа XXX, равную 0). Получится:
XX
ЛЕНА
----
ЛИЛ
АЛ
ГАЛ
ВАЛ
------
XXXXXX
Предпоследняя цифра числа XXX должна при умножении на 4
разных цифры числа "ЛЕНА" дать 4 произведения с одинаковыми
последними цифрами. Из первой таблицы (умножения одной цифры)
видно, что только цифры 0 и 5 дают при умножении на 4 разных
цифры по 4 одинаково оканчивающихся произведения. Но цифра 0 не
может быть предпоследней цифрой XXX, т.к. иначе бы "ЛЯ"
превратилось в "ЯЯ". Следовательно, XXX оканчивается на цифры
"50". В слове "ЛЕНА" тоже первая цифра 5. Получилось:
X50
5ЕНА
----
5И50
А50
ГА50
ВА50
-------
XXXXX50
Ясно, что в слове "ЛЕНА" все буквы нечетные (иначе X50 дало
бы при умножении на них число, оканчивающееся на 00).
Займемся первой цифрой числа XXX. Она при умножении на А (из
слова ЛЕНА) дала число 5И50, т.е. первая цифра никак не может
быть меньше 6. 550 * 9 = 4950 < 5И50, т.е. ни 5, ни меньшая цифра
на первом месте в числе XXX не даст при умножении ни на какую
цифру число 5И50.
Тогда XXX = 650, 750, 850 или 950. Вот таблица умножения
этих чисел на нечетные цифры:
650 750 850 950
9 5850 6750 7650 8550
7 4550 5250 5950 6650
5 3250 3750 4250 4750
Приводить таблицу умножения на 3 и на 1 не имеет смысла - уж
очень маленькие числа получаются. Из таблицы видно, что нам нужно
либо число 650 (тогда А=9, ЛИЛЯ=5850), либо 750 (А=7, ЛИЛЯ=5250),
либо 850 (А=7, ЛИЛЯ=5950).
Теперь можно опять проверить таблицу умножения чисел со
второй цифрой 5, помня, что число XXX (X50) при умножении на три
разных цифры 5, Е, Н дало числа А50, ГА50, ВА50, оканчивающиеся
одинаково. Можно выкинуть последний нуль и получить: X5 * (5, Е,
Н) = А5, ГА5, ВА5.
Зная, что первая цифра числа X5 равна либо 6, либо 7, либо
8, смотрим строки таблицы для 65, 75, 85. Результат: 65 и 85 не
могут дать даже двух одинаковых чисел, а вот 75 - дает (три числа
75).
Теперь ясно, что XXX = 750. Тогда АЛЯ = 750, Н=1. ЛИЛЯ=5250
(см. выше). Раз старшая цифра числа ЛЕНА (Л) = 5, XXX=750, то
ВАЛЯ=3750. Остались буквы Г и Е. Число 75 дает на конце 75 при
умножении на цифры 1, 5, 9. 1 и 5 уже заняты, осталось 9,
следовательно, Е=9. Тогда ГАЛЯ=6750 и Г=6. Получим:
750
5917
----
5250
750
6750
3750
-------
4437750
Рассмотрим три криптарифма:
1. КАЛ 2. КАЛ 3. КАЛ
+ + +
КАЛ КАЛ КАЛ
---- + +
ЛЕХА КАЛ КАЛ
---- +
ЛЕХА КАЛ
----
ЛЕХА
В первом криптарифме, очевидно, Л=1, отсюда А=2, Х=4. Надо
подобрать значения для К и Е. Получим:
К21
+
К21
----
1Е42
Очевидно, достаточно перебрать возможные значения для К, так
как значения Е полностью от них зависят.
Так как К должно быть больше 4, перебираем для него варианты
5,6,7,8,9. Варианты 6,7 отбрасываем из-за повторяющихся цифр
(а каждая буква должна соответствовать только одной цифре, и наоборот).
Остается 3 варианта:
521 821 921
+ + +
521 821 921
---- ---- ----
1042 1642 1842
2. КАЛ
+
КАЛ
+
КАЛ
----
ЛЕХА
Теперь переходим ко второму криптарифму. Сразу очевидно, что
Л равно либо 1, либо 2. Если Л=1, то А=3, а Х=9; перебираем, как
раньше, значения К. Чтобы в старшем разряде получилось 1, К должно
быть в диапазоне от 4 до 6. Вариант с К=5 отбрасываем из-за
одинаковой цифры (5), соответствующей разным буквам (К и Е); остаются
К=4 и К=6.
Теперь рассмотрим случай Л=2. Тогда А=6, Х=8, в третий
(начиная с младшего) разряд идет перенос (прибавляется 1); К
должно быть не менее 7. К=8 отбрасываем сразу, для К=7 возникают
повторяющиеся цифры (2), для К=9 - тоже (8). Поэтому Л=2 не
подходит.
Таким образом, криптарифм имеет 2 решения:
431 631
+ +
431 631
+ +
431 631
---- ----
1293 1893
3. КАЛ
+
КАЛ
+
КАЛ
+
КАЛ
----
ЛЕХА
Теперь рассмотрим третий криптарифм. Здесь Л должно быть
либо 1, либо 2, либо 3. Если бы Л было равно 2, А было бы равно
8; но 8*4=32, и Х тоже было бы 2. А это невозможно. Так что Л
равно 1 или 3.
Если Л=1, то А=4, Х=6, в третий разряд идет перенос (1).
Тогда К=3 или 4 (чтобы К+К+К+К+1 дало в старшем разряде единицу).
Если К=3, получим, что и Е=3, это не подходит; К не может быть
равно и 4 (из-за буквы А). Так что Л не равно 1.
Раз Л=3, то А=2, Х=9, в третий разряд перенос не идет; чтобы
К+К+К+К старшей цифрой давало 3, надо, чтобы оно было не меньше
8. Если К=8, то Х=2, а у нас уже А=2. Если К=9, то как же быть с
Х?
Итак, решений у третьего криптарифма нет.
Рассмотрим "симметричный" криптарифм, в котором число умножается
на само себя, записанное в обратном порядке:
ТУФ
X
ФУТ
----
ЖЕСТ
ССЕК
*РИФ
------
*ЛЕС**
Начнем анализ. Бросается в глаза, что Ф*Т=Т в последней цифре.
Но сначала отметим очевидное: Ж>0, С>0, Т>1, У>1, Ф>1. (Если
бы Ф, У, Т были равны 1, слово ТУФ переписалось бы в одну из трех
строчек посередине). Раз Ф и Т больше 1, учтем это, когда будем
искать подходящие значения для них. Как легко найти из таблицы
умножения, их 6 пар (естественно, Ф не равно Т):
Ф Т
6 2
6 4
3 5
7 5
9 5
6 8
Кроме того, Ф*Ф=Ф. (Это выражение не совсем верно;
правильней было бы записать (Ф*Ф)mod 10=Ф, т.е. остаток от
деления на 10 равен Ф; но это обычно и подразумевается). Так что
Ф может быть 0,1,5,6, но Ф>1, и Ф=5 или 6. В нашей таблице пар
значений для Ф и Т нет ни одного для Ф=5, следовательно, Ф=6.
Т=2, 4 или 8.
В принципе, тут можно было бы заняться простым подбором;
есть 3 значения Т, одно значение Ф, а т.к. У>1 и не равно 6, то
существует всего 7 вариантов для У, из которых один (У=Т) каждый
раз не рассматривается, и остается всего 6. 6*3 = 18 вариантов.
Но это скучно и некрасиво. Лучше бы сузить их число путем
логических рассуждений.
Если бы Т было равно 2, число ТУФ было бы меньше 300;
умноженное на Т (2), оно бы дало трехзначное число - а число ЖЕСТ
четырехзначное. Так что Т=4 или 8.
Осталось 12 вариантов.
Если Т=4, а У=2, то ТУФ был бы меньше 500, умноженный на 2,
опять дал бы трехзначное. Осталось 11 вариантов.
Можно рассмотреть и второе значение с У=2 (когда Т=8). Тогда
ТУФ=826, а 826*2=1652 (слово ССЕК); но первые 2 цифры должны быть
одинаковыми, а они разные. Так что У=2 вообще не подходит
(осталось 10 вариантов). Да и последний вариант мы исключили уже
больше не рассуждениями, а вычислениями. Так что начнем
рассматривать остальные варианты для слова ССЕК=ТУФ*У:
ТУФ 436 456 476 486 496
--------------------------------
ТУФ*У 1308 2280 3332 3888 4464
(ССЕК)
ТУФ 836 846 856 876 896
--------------------------------
ТУФ*У 2508 3384 4280 6132 8064
(ССЕК)
Здесь под "маску" ССЕК подходят только числа 2280 (456*5) и
3384 (846*4). Но если ССЕК=3384, то ТУФ=846, и будет противоречие
между значениями Т и Е (8). Так что ССЕК=2280, ТУФ=456, и
криптарифм принимает вид:
456
X
654
----
1824
2280
2736
------
298224
Рассмотрим два криптарифма:
1. КИТ 2. БОР
X X
КОТ БАР
---- ----
?АКТ ОМ??
СЛОН ШКАФ
?РОТ ?ПАР
------ ------
ТОК??? РАБ???
В первом криптарифме, очевидно, К>1, О>1, Т>1. (Иначе слово
КИТ появилось бы в средней части примера). С>0.
Как видим, Т*Т=Т (в последней цифре, число при умножении
может быть и двузначным). Т>1, так что Т=5 или 6.
Заметим также, что К*Т=Т.
Если Т=6, то К равно (из таблицы умножения на 6) либо 1,
либо 6. 6 оно не может быть равно в принципе, а 1 - тоже (ведь
К>1). Так что и Т не равно 6 и, следовательно, Т=5.
Раз Т=5, то какие же цифры могут получиться на концах трех
слов в середине примера (?АКТ, СЛОН, ?РОТ)? Это либо 5, либо 0.
Т=5, следовательно, Н=0. Кроме того, чтобы этот 0 (при умножении
на букву О) получился, буква О должна быть четной (О=2,4,6,8).
Далее. Т.к. КИТ (вернее, КИ5) кратно 5, то КИ5*5=?АК5 кратно
25; такие числа оканчиваются только на 00, 25, 50, 75. На конце у
?АК5 находится 5, значит, К=2 или 7. Если К=2, КИТ меньше 300,
КИТ*К будет меньше 600, а число это должно быть четырехзначным
(?РОТ). Так что К=7.
Получим такой пример:
7И5
X
7О5
----
?А75
СЛО0
?РО5
------
5О7?75
Рассмотрим выражение 7И5*5=?А75. Запишем его подробнее
(лесенкой):
7И5
X
5
---
25
5И
35
----
?А75
Здесь 5И - не число, начинающееся с 5 и кончающееся на И, а
произведение 5*И. Оно должно оканчиваться на 5, чтобы получились
цифры 75 на конце числа ?А75; следовательно, И-нечетное.
И=(1,3,5,7,9). Ясно, что И не равно ни 5, ни 7; тогда И=(1,3,9).
Если бы И было равно 1, тогда 5И было бы равно 5 и ?А75 было бы
равно 3575. Тогда А было бы 5, но у нас Т=5. Подставив значение
И=9, получим ?А75=3975, А было бы равно 9; но мы предположили,
что И=9. Так что И=3 и 7И5 = 735, ?А75 = 3675.
Получим промежуточный результат:
735
X
7О5
----
3675
СЛО0
?РО5
------
5О7?75
У нас ?РО5 = 7*735 = 5145, т.е. Р=1, О=4. А значит, КОТ=745.
Вот и все решение:
735
X
745
----
3675
2940
5145
------
547575
2. БОР
X
БАР
----
ОМ??
ШКАФ
?ПАР
------
РАБ???
Теперь перейдем ко второму криптарифму. Ясно, что Б, А, Р>1,
Ш>0, О>0. Ясно, что Б больше 2, так как если Б=2, то БОР<300,
БОР*Б будет <600, а число должно быть четырехзначным.
Рассмотрим строку БОР*Б=?ПАР. (Б*Р)mod 10 = Р, Б>2, Р>1, Б
не равно Р. Найдем из таблицы умножения пары, удовлетворяющие
этим условиям:
Р Б
2 6
4 6
5 3
5 7
5 9
8 6
Заранее отметим, что старшая цифра числа ?ПАР равна либо Р
(если нет переноса из суммы Ш+П), либо Р-1 (если перенос=1), либо
Р-2 (если перенос=2). Впрочем, переноса, равного 2, быть не
может; даже при максимальных значениях Ш и П и максимальном
переносе из предыдущего разряда, равном 2, сумма получается лишь
19 и перенос равен 1. Так что старшая цифра ?ПАР равна Р или Р-1.
Если Р=2, то Б=6, тогда из 6О2*2=ОМ?? будет О=1, т.е.
612*2=1224, тогда М=2, но у нас Р=2 - противоречие. Так что
первая строка таблицы отпадает.
Если Р=4, Б=6, то из 6О4*4=ОМ?? выйдет, что О=2, а
624*4=2496. Должно быть М=4, а у нас Р=4. Вторая строка таблицы
отпадает.
Если Р=8, Б=6, то из БОР*Б=?ПАР получим, что 6О8*6 должно
дать в старшей цифре Р или Р-1 (помните?), а так как 6О8 меньше
700 и с трудом дает в этой цифре 4 при Р, равном у нас 8, то
последняя строка таблицы также не подходит.
Остаются три строки. Р всегда равно 5; Б = (3,7,9). Тогда
А - четное (иначе на конце числа ШКАФ была бы буква Р, т.е. 5).
Ясно, что Ф равно 0, а А=(2,4,6,8).
Получим:
БО5
X
БА5
----
ОМ?5
ШКА0
?ПА5
------
5АБ??5
Переберем значения Б. Если Б=3, то О=1 (т.к. БОР в этом
случае находится в диапазоне от 300 до 400, а БОР*5 - от 1500 до
2000, не включая 2000). Тогда БОР*5 = 315*5=1575 (ОМ?5) -
получается, что М и Р равны 5, чего быть не может.
Если Б=7, то О=3 (рассуждая аналогично); тогда БОР = 735,
БОР*5 = 735*5 = 3675, это ничему не противоречит.
Наконец, если Б=9, то О=4, БОР=945, БОР*Б = 945*9 = 8505
(?ПАР), т.е. П=Р, чего не может быть.
Итак, Б=7, О=3, отсюда сразу находятся М=6, П=1, А=4 и
становится ясно, что пример имел вид:
735
X
745
---
3675
2940
5145
------
547575
Как видим, оба криптарифма имели одно решение. Это и
понятно: я взял это выражение, а потом закодировал его разными
словами. При этом второй криптарифм получился явно труднее.